Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Cuenca del Pacífico • 2015


Problema 1
Sea [math] un triángulo y sea [math] un punto sobre el lado [math]. Una recta que pasa por [math] corta al lado [math] en [math] y a la semirrecta [math] en [math]. La circunferencia circunscrita del triángulo [math] interseca a la circunferencia circunscrita [math] del triángulo [math] nuevamente en el punto [math]. Las rectas [math] y [math] vuelven a cortar a [math] en [math] y [math], respectivamente. Probar que [math].

Problema 2
Sea [math] el conjunto de los números enteros mayores o iguales que [math]. ¿Existe una función [math] tal que [math] para todos [math] con [math]?

Problema 3
Una sucesión de números reales $a_0, a_1, \ldots$ se dice buena si se cumplen las siguientes tres condiciones.
  1. El valor de $a_0$ es un entero positivo.
  2. Para cada entero no negativo $i$ se tiene $a_{i+1} = 2a_i + 1$ o $a_{i+1} = \frac{a_i}{a_i + 2}$.
  3. Existe un entero positivo $k$ tal que $a_k = 2014$.
Hallar el menor entero positivo $n$ tal que existe una sucesión buena $a_0, a_1, \ldots$ de números reales con la propiedad de que $a_n = 2014$.

Problema 4
Sea [math] un entero positivo. Considere [math] rectas distintas en el plano, entre las cuales no hay dos paralelas. De las [math] rectas, [math] se colorean de azul y las otras [math] se colorean de rojo. Sea [math] el conjunto de todos los puntos del plano que pertenecen a al menos una recta azul, y sea [math] el conjunto de todos los puntos del plano que pertenecen a al menos una recta roja. Probar que existe una circunferencia que interseca a [math] en exactamente [math] puntos, y también interseca a [math] en exactamente [math] puntos.

Problema 5
Determinar todas las sucesiones $a_0, a_1, a_2, \ldots$ de enteros positivos con $a_0 \geq 2015$ tales que para todo entero $n \geq 1$:
  1. $a_{n+2}$ es divisible por $a_n$;
  2. $\left | s_{n+1} - (n+1)a_n \right | = 1$, donde $s_{n+1} = a_{n+1} - a_n + a_{n-1} - \cdots + (-1)^{n+1} a_0$.