Problema 1
Son dados
[math]201 números enteros positivos en una fila. El primero y el último de ellos son iguales a
[math]19999. Cada uno de los restantes números es menor que el promedio de sus vecinos y la diferencia entre cada uno de los restantes números y el promedio de sus vecinos es siempre el mismo entero. Hallar el anteúltimo número de la fila.
Problema 2
Dados varios números, elegimos uno de ellos, $a$, y lo reemplazamos por los tres números $\frac{a}{3},\frac{a}{3},\frac{a}{3}$. A continuación se aplica la misma operación en la nueva colección de números, y así siguiendo. El proceso comienza con $1000$ números $1$. Diremos que un número $m$ es bueno si hay $m$ o más números iguales después de cada paso, no importa cuántas ni qué operaciones se hayan realizado. Hallar el mayor número bueno.
Problema 3
Dos circunferencias de radio $1$ que no se cortan, $c_1$ y $c_2$, están dentro de un ángulo de vértice $O$. La circunferencia $c_1$ es tangente a un lado del ángulo, y la circunferencia $c_2$ es tangente al otro lado. Una de las tangentes interiores comunes a $c_1$ y $c_2$ pasa por $O$, y la otra corta a los lados del ángulo en $A$ y $B$, con $AO=BO$. Hallar la distancia del punto $A$ a la recta $OB$.
Aclaración: Una recta tangente a dos circunferencias $c_1$ y $c_2$ se llama tangente interior si una de las circunferencias está a uno de los lados de la recta y la otra está del otro lado.
Problema 4
Consideremos las sumas de $50$ sumandos
$S=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots +\frac{1}{99\cdot 100}$,
$T=\frac{1}{51\cdot 100}+\frac{1}{52\cdot 99}+\ldots +\frac{1}{99\cdot 52}+\frac{1}{100\cdot 51}$.
Expresar el cociente $\frac{S}{T}$ como una fracción irreducible.
Problema 5
Diremos que un entero $n\geq 3$ es
especial si no divide a $\left (n-1\right )!\left (1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n-1} \right )$. Hallar todos los números especiales $n$ tales que $10\leq n\leq 100$.
Aclaración: Para cada entero positivo de $x$ se define el factorial de $x$ como $x!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot x$, es decir, la multiplicación de todos los enteros de $1$ a $x$.
Problema 6
Determinar si existen enteros positivos
[math]a_{1}<a_{2}<...<a_{k} tales que las sumas
[math]a_{i}+a_{j},
[math]1\leq i<j\leq k, son distintas y hay entre ellas
[math]1000 enteros consecutivos.