Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Iberoamericana • 2003


Problema 1
a) Se tienen dos sucesiones, cada una de $2003$ enteros consecutivos, y un tablero de $2$ filas y $2003$ columnas$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
\quad & \quad & \quad & \cdots & \quad & \quad \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \cdots & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$Decida si siempre es posible distribuir los números de la primera sucesión en la primera fila y los de la segunda sucesión en la segunda fila, de tal manera que los resultados obtenidos al sumar los dos números de cada columna formen una nueva sucesión de $2003$ números consecutivos.

b) ¿Y si se reemplaza $2003$ por $2004$?

Problema 2
Sean [math] y [math] dos puntos de la semicircunferencia de diámetro [math] tales que [math] y [math] están en semiplanos distintos respecto de la recta [math]. Denotemos [math], [math] y [math] a los puntos medios de [math], [math] y [math], respectivamente. Sean [math] y [math] los circuncentros de los triángulos [math] y [math]. Demuestre que las rectas [math] y [math] son paralelas.

Problema 3
Pablo estaba copiando el siguiente problema:

Considere todas las sucesiones de $2004$ números reales $\left (x_0,x_1,x_2,\ldots ,x_{2003}\right )$ tales que$$\begin{align*}x_0 & =1, \\
0\leqslant x_1 & \leqslant 2x_0, \\
0\leqslant x_2 & \leqslant 2x_1, \\
& \vdots \\
0\leqslant x_{2003} & \leqslant 2x_{2002} \\
\end{align*}$$Entre todas estas sucesiones, determine aquella para la cual la siguiente expresión toma su mayor valor: $S=\ldots$.

Cuando Pablo iba a copiar la expresión de $S$ le borraron la pizarra. Lo único que pudo recordar es que $S$ era de la forma$$S=\pm x_1\pm x_2\pm \cdots \pm x_{2002}+x_{2003},$$donde el último término, $x_{2003}$, tenía coeficiente $+1$, y los anteriores tenían coeficiente $+1$ ó $-1$. Demuestre que Pablo, a pesar de no tener el enunciado completo, puede determinar con certeza la solución del problema.

Problema 4
Sea $M=\{1,2,\ldots ,49\}$ el conjunto de los primeros $49$ enteros positivos. Determine el máximo entero $k$ tal que el conjunto $M$ tiene un subconjunto de $k$ elementos en el que no hay $6$ números consecutivos. Para ese valor máximo de $k$, halle la cantidad de subconjuntos de $M$, de $k$ elementos, que tienen la propiedad mencionada.

Problema 5
En el cuadrado $ABCD$, sean $P$ y $Q$ puntos pertenecientes a los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, distintos de los extremos, tales que $BP=CQ$. Se consideran puntos $X$ e $Y$, $X\neq Y$, pertenecientes a los segmentos $AP$ y $AQ$ respectivamente. Demuestre que, cualesquiera sean $X$ e $Y$, existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos $BX$, $XY$ y $DY$.

Problema 6
Las secuencias, $(a_n)$, $(b_n)$ están definidas por $a_0 = 1$, $b_0 = 4$, y para $n \geq 0$:$$a_{n+1} = a_n^{2001} + b_n$$y$$b_{n+1} = b_n^{2001} + a_n$$Mostrar que $2003$ no divide a ninguno de los términos de las dos secuencias.