Problema 1
Se consideran todos los números naturales de nueve dígitos que utilizan exclusivamente los dígitos $1$, $2$ y $3$ (el menor es el $111111111$ y el mayor es el $333333333$). Cada uno de estos números está escrito en una tarjeta; se tiene así un mazo de $19683$ tarjetas. David, Juan y Pablo se repartieron las tarjetas de acuerdo con la siguiente regla: si dos tarjetas son de un mismo chico, entonces en al menos una de las nueve posiciones tienen el mismo dígito. Si David tiene el $133221311$ y Juan tiene el $133211311$, determinar cuál de los tres chicos tiene el $123123123$.
Problema 2
En el triángulo $ABC$ sean $M$ en el lado $AB$ tal que $AM=2BM$ y $N$ el punto medio de $BC$. Denotamos $O$ al punto de intersección de $CM$ y $AN$. Si el área del triángulo $ABC$ es igual a $30$, calcular el área del cuadrilátero $MBNO$.
Problema 3
En la casa de Gabriel son muy metódicos. Todos los días hábiles la mamá sale en su moto a la misma hora, a la misma velocidad y por el mismo camino a buscar a Gabriel al colegio. Llega al colegio exactamente a las $12$ horas y de inmediato regresa a su casa con Gabriel, por el mismo camino y a la misma velocidad. Por supuesto, todos los días llegan a la casa exactamente a la misma hora.
Un día, Gabriel salió del colegio más temprano, y a las $11$ horas y $15$ minutos inició la caminata hacia su casa. En el camino se encontró con su mamá, que lo estaba yendo a buscar al colegio, como todos los días. En cuanto se encontraron, regresaron de inmediato a la casa, y llegaron $20$ minutos más temprano que lo habitual.
Determinar cuántos minutos más temprano que lo habitual hubiesen llegado a la casa si Gabriel comenzaba la caminata a las $11$ horas y $33$ minutos.
Nota: Gabriel, que también es metódico, camina siempre a la misma velocidad.
Problema 4
Consideramos los números naturales
[math]n de tres cifras, todas ellas distintas de cero. Diremos que un número
[math]n es
[math]bueno si el número
[math]n+1 es múltiplo del número de dos cifras que se obtiene al suprimirle a
[math]n la primera cifra de la izquierda (es decir, al suprimirle la cifra de las centenas).
Por ejemplo,
[math]123 NO es bueno, porque
[math]124 no es múltiplo de
[math]23.
Hallar todos los números buenos.
Problema 5
Sea $ABC$ un triángulo tal que $A\hat BC=2B\hat CA$; además, si $D$ denota al punto del lado $BC$ tal que $AD$ es bisectriz del ángulo $C\hat AB$, se tiene que $CD=AB$. Calcular las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$.
Problema 6
En una caja fuerte hay $128$ bolsas con oro, todas con el mismo aspecto, pero todas de distinto peso. El tesorero quiere determinar las dos bolsas más pesadas y para ello dispone de una balanza de dos platos. La única operación permitida es colocar una bolsa en cada plato y de este modo establecer cuál de las dos es más pesada. Decidir si el tesorero puede lograr su objetivo efectuando $133$ operaciones permitidas. Si la respuesta es afirmativa, indicar la secuencia de pesadas; si es negativa, explicar el porqué.