Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Nacional • 2003 • Nivel 1


Problema 1
Se tiene un tablero cuadrado de $8\times 8$ dividido en casillas de $1\times 1$. Escribir en cada casilla un $1$ o un $2$ de modo que en cada cuadrado de $3\times 3$ la suma de los $9$ números sea múltiplo de $4$, pero la suma de los $64$ números del tablero no sea múltiplo de $4$.

Problema 2
Las diagonales [math] y [math] de un cuadrilátero convexo [math] se cortan en [math] y [math] , [math] . Sean[math] y [math] los puntos que dividen el segmento [math] en tres partes iguales, con [math] entre [math] y [math], y sea [math] el punto medio del segmento [math]. Calcular [math].

Problema 3
Leonardo pensó un número entero entre $1$ y $2003$ inclusive, y Julián tiene que adivinar ese número. Para ello puede formularle a Leonardo preguntas que se puedan responder con sí o no. Leonardo tiene obligación de responder todas las preguntas, pero, si lo desea, puede mentir como mucho una vez. (Algunas preguntas posibles son, por ejemplo, “¿Es tu número mayor que $50$ y menor que $100$?” o “¿Era verdadera la respuesta que diste a mi tercera pregunta?”)

Demostrar que Julián puede determinar con certeza el número de Leonardo mediante $15$ preguntas o menos.

Problema 4
Un reloj digital que da la hora y los minutos desde las $00:00$ hasta las $23:59$, siempre muestra $4$ dígitos. Determinar durante cuánto tiempo, a lo largo de $24$ horas, el reloj exhibe por lo menos un $1$ pero ningún $2$ o exhibe por lo menos un $2$ pero ningún $1$.

Problema 5
En el pizarrón hay escrito un número de [math] dígitos con los últimos tres dígitos de la derecha iguales a [math]. Debajo de este número, y usando exactamente los mismos dígitos, pero en otro orden, Luciano escribe un nuevo número de [math] dígitos: deja los tres últimos [math], e intercambia a voluntad los primeros [math] dígitos. Esta operación la repite una y otra vez, hasta tener escritos en el pizarrón [math] números de [math] dígitos. A continuación, suma esos [math] números, y al resultado lo divide por [math]. Calcular el resto de la división que hizo Luciano.

Problema 6
Delante de la cueva de Alí Babá hay un dispositivo para abrir la puerta: es una calesita con forma de cuadrado que tiene cuatro cofres cerrados ubicados uno en cada vértice. En cada cofre hay una moneda que puede estar cara o ceca. La cueva se abre sólo si las cuatro monedas tienen la misma posición, todas cara o todas ceca.

El genio que controla la entrada ofrece al visitante que elija dos de los cofres, los abra, mire las dos monedas y las deje como están o, si lo desea, dé vuelta una de las monedas o dé vuelta las dos monedas de esos cofres. A continuación, si la cueva no se abre, el genio cierra los dos cofres y gira velozmente la calesita de modo que resulta imposible saber cuáles son los cofres que se acaban de abrir y cerrar. Cuando la calesita se detiene, el genio le ofrece al visitante una nueva oportunidad, y así siguiendo. Determinar un procedimiento de sucesivos intentos que le permita al visitante asegurarse de que la cueva se abrirá.