Problema 1
Se tiene un tablero cuadrado de $8\times 8$ dividido en casillas de $1\times 1$. Escribir en cada casilla un $1$ o un $2$ de modo que en cada cuadrado de $3\times 3$ la suma de los $9$ números sea múltiplo de $4$, pero la suma de los $64$ números del tablero no sea múltiplo de $4$.
Problema 2
Las diagonales
[math]AC y
[math]BD de un cuadrilátero convexo
[math]ABCD se cortan en
[math]E y
[math]\frac{CE}{AC}=\frac{3}{7} ,
[math]\frac{DE}{BD}=\frac{4}{9} . Sean
[math]P y
[math]Q los puntos que dividen el segmento
[math]BE en tres partes iguales, con
[math]P entre
[math]B y
[math]Q, y sea
[math]R el punto medio del segmento
[math]AE. Calcular
[math]\frac{\text{Area}(APQR)}{\text{Area}(ABCD)}.
Problema 3
Leonardo pensó un número entero entre $1$ y $2003$ inclusive, y Julián tiene que adivinar ese número. Para ello puede formularle a Leonardo preguntas que se puedan responder con sí o no. Leonardo tiene obligación de responder todas las preguntas, pero, si lo desea, puede mentir como mucho una vez. (Algunas preguntas posibles son, por ejemplo, “¿Es tu número mayor que $50$ y menor que $100$?” o “¿Era verdadera la respuesta que diste a mi tercera pregunta?”)
Demostrar que Julián puede determinar con certeza el número de Leonardo mediante $15$ preguntas o menos.
Problema 4
Un reloj digital que da la hora y los minutos desde las $00:00$ hasta las $23:59$, siempre muestra $4$ dígitos. Determinar durante cuánto tiempo, a lo largo de $24$ horas, el reloj exhibe por lo menos un $1$ pero ningún $2$ o exhibe por lo menos un $2$ pero ningún $1$.
Problema 5
En el pizarrón hay escrito un número de
[math]100 dígitos con los últimos tres dígitos de la derecha iguales a
[math]999. Debajo de este número, y usando exactamente los mismos dígitos, pero en otro orden, Luciano escribe un nuevo número de
[math]100 dígitos: deja los tres últimos
[math]999, e intercambia a voluntad los primeros
[math]97 dígitos. Esta operación la repite una y otra vez, hasta tener escritos en el pizarrón
[math]99 números de
[math]100 dígitos. A continuación, suma esos
[math]99 números, y al resultado lo divide por
[math]72. Calcular el resto de la división que hizo Luciano.
Problema 6
Delante de la cueva de Alí Babá hay un dispositivo para abrir la puerta: es una calesita con forma de cuadrado que tiene cuatro cofres cerrados ubicados uno en cada vértice. En cada cofre hay una moneda que puede estar cara o ceca. La cueva se abre sólo si las cuatro monedas tienen la misma posición, todas cara o todas ceca.
El genio que controla la entrada ofrece al visitante que elija dos de los cofres, los abra, mire las dos monedas y las deje como están o, si lo desea, dé vuelta una de las monedas o dé vuelta las dos monedas de esos cofres. A continuación, si la cueva no se abre, el genio cierra los dos cofres y gira velozmente la calesita de modo que resulta imposible saber cuáles son los cofres que se acaban de abrir y cerrar. Cuando la calesita se detiene, el genio le ofrece al visitante una nueva oportunidad, y así siguiendo. Determinar un procedimiento de sucesivos intentos que le permita al visitante asegurarse de que la cueva se abrirá.