Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Nacional • 2005 • Nivel 1


Problema 1
Mauro escribió la lista de los números de $12$ dígitos con cada dígito igual a $0$ ó $1$ tales que la suma de los dígitos en las posiciones pares es igual a la suma de los dígitos en las posiciones impares. Determinar cuántos números tiene la lista de Mauro.

Aclaración: Todos los números de la lista tienen el primer dígito de la izquierda igual a $1$.

Problema 2
Una empresa aérea tiene $9$ aviones todos de distintos modelos y $13$ pilotos. Entrenar a cada piloto para pilotear en cada avión cuesta $\$1000$. Cada día se sortean $9$ de los pilotos para que piloteen los aviones y los otros $4$ tienen el día libre.
Hallar la mínima cantidad que se debe invertir en el entrenamiento de los pilotos de modo que se garantice que todos los aviones vuelen todos los días, independientemente de los pilotos sorteados. (Cada día, cada piloto vuela sólo en uno de los aviones.)

Problema 3
Dado un segmento de longitud [math], construir con regla y compás un cuadrado en el que la diferencia entre las longitudes de la diagonal y el lado sea [math]. Indicar los pasos de la construcción y explicar porqué la construcción realizada satisface las condiciones del problema.

Problema 4
Hallar los dígitos [math] y [math] del entero positivo [math].

Problema 5
Hay [math] monedas de oro distribuidas en [math] cofres: [math] monedas en cada cofre. Cada moneda pesa un número entero de gramos, mayor o igual que [math] y menor o igual que [math] y hay [math] monedas de cada peso.
Se sabe que si dos monedas están en un mismo cofre, la diferencia entre sus pesos es menor o igual que [math] gramos. Determinar cuál es el mínimo valor posible del peso del contenido del cofre más pesado.

Problema 6
En un tablero de [math], cuadriculado en cuadritos de [math], se consideran los [math] puntos que son vértices de los cuadritos. Alan colorea de rojo algunos puntos y luego Lucía elige [math] puntos coloreados y traza el triángulo determinado por esos puntos. Alan recibe un caramelo por cada punto coloreado, pero si el triángulo de Lucía es isósceles, Alan debe entregarle a Lucía todos los caramelos que recibió.
Determinar la máxima cantidad de caramelos que puede ganar Alan sin que Lucía se los gane al dibujar un triángulo isósceles. Indicar qué puntos puede colorear para obtener esa cantidad de caramelos y explicar por qué no puede obtener una cantidad mayor.