Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Nacional • 2006 • Nivel 1


Problema 1
Ale debe escribir un número de $20$ dígitos que tenga por lo menos $9$ dígitos distintos. A continuación Fede anota todos los números de dos dígitos que pueden quedar escritos al tacharle $18$ dígitos al número de Ale (algunos pueden comenzar con $0$ si Ale utilizó el $0$). El objetivo de Ale es que la lista de Fede contenga la menor cantidad posible de números primos (si un primo figura dos veces en la lista de Fede, se cuenta como dos primos). Dar un número que le permita a Ale lograr su objetivo, identificar todos los primos que tendrá la lista de Fede y justificar porqué es imposible lograr un número con el que la lista de Fede tenga menos primos.

Aclaración: El número $1$ no es primo.

Problema 2
En las casillas de un tablero de $8 \times 8$ hay que colocar fichas de modo que cada dos casillas consecutivas de una misma fila o de una misma columna haya al menos una que tenga una ficha y cada $7$ casillas consecutivas de una misma fila o de una misma columna haya al menos dos casillas consecutivas que tengan una ficha cada una. Determinar el número mínimo de fichas que hay que colocar en el tablero.

Problema 3
Hallar $9$ números enteros positivos que sumen $2006$ y tales que el mínimo común múltiplo de esos $9$ números sea lo menor posible (entre los $9$ números puede haber repetidos).

Problema 4
El número $A$ es un cuadrado perfecto no divisible por $10$, con más de $6$ dígitos, que tiene la siguiente propiedad: si se reemplazan los últimos $6$ dígitos de $A$ por ceros, se obtiene otro cuadrado perfecto. Hallar el mayor valor posible de $A$.

Aclaración: Se denominan cuadrados perfectos a los enteros que se obtienen al elevar un entero al cuadrado.

Problema 5
Sea $\triangle{ABC}$ un triangulo con $AB=BC$ y $\widehat{B}=20^{\circ}$. Se considera $P$ en $BC$ tal que $C\widehat{A}P=50^{\circ}$ y $Q$ en $AB$ tal que $A\widehat{C}Q=60^{\circ}$. Calcular la medida del angulo $A\widehat{P}Q$.

Problema 6
En cierta ciudad el sistema de autobuses tiene $65$ líneas que pasan, entre todas, por $999$ paradas. Este sistema permite viajar en autobús de cada parada a cada una de las otras, tal vez efectuando trasbordos. Para cada dos líneas A y B hay al menos una parada de A que no está en B y al menos una parada de B que no está en A. Por razones económicas, el intendente quiere suprimir la mayor cantidad posible de líneas, preservando todas las paradas y de modo que siga siendo posible viajar en autobús de cada parada a cada una de las otras. El ministro de transporte le informó que se pueden eliminar $36$ líneas, pero es imposible eliminar $37$. Mostrar con un ejemplo que es posible que el ministro diga la verdad.