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Terminó la FOFO 11 AÑOS
Ya están abiertos los problemas para que suban sus soluciones

Comenzó la FOFO ANIVERSARIO: 11 AÑOS

Para dudas de enunciados postear en este thread.

Un pequeño FAQ para tener en cuenta a la hora de resolver los problemas y mandar las soluciones.

Si tengo una duda de enunciado, ¿dónde pregunto?
Las dudas de enunciado se preguntan respondiendo este post.

¿Los problemas están ordenados por dificultad?
Aproximadamente sí. Esto es un poco subjetivo, y en general no es cierto que necesariamente el problema $n$ sea más fácil que el $n+1$. Nuestro consejo es arrancar pensando desde los primeros y avanzar hacia los últimos.

¿A dónde tengo que mandar las soluciones?
Por ejemplo, el problema 4 lo publicó el usuario "malen.arias". Abajo de su nombre están enlistados su número de mensajes, su fecha de registro, y al final, hay un botón que dice "MP". Al hacer click allí, verás un panel para que escribas tu solución. Una vez que la termines de escribir y revisar, al hacer click en enviar, "malen.arias" recibirá tu solución.

¿Cuándo tengo que mandar las soluciones?
Las podés mandar en cualquier momento del fin de semana. Lo ideal sería que procures mandar tu solución una vez que estés seguro de que no te equivocaste. Recordá que tenés tiempo hasta las 23:59 del Lunes 11 de Octubre de 2021, y que podes reenviar soluciones y agregar aclaraciones todas las veces que vos quieras.

Algunas de las soluciones que mandé quedaron en "bandeja de salida" en vez de "mensajes enviados". ¿Qué significa esto?
Solamente significa que el destinatario aún no leyó el mensaje. No hace falta que lo envíes de nuevo.

¿Vale la pena mandar soluciones incompletas?
Si en algún problema lograste obtener resultados parciales, o ideas que creés que sirven mucho pero no sabés cómo terminar el problema, igual podés mandarnos tu solución. Podés rescatar algunos puntos que suman. Recordá que todos los problemas valen lo mismo en puntaje.

¿Cómo puedo obtener un premio?
Se darán medallas especiales a los usuarios con mejor desempeño. No obstante, habrá otros premios aparte de estas medallas, que se determinarán exclusivamente por puntaje.

¿Cuándo me entero de la corrección?
Una vez que termine el período de envío de soluciones, nosotros vamos a avisarte por mensaje privado cuál fue tu puntaje.

Si resolví pocos problemas ¿vale la pena que mande mis soluciones?
Sí, por supuesto que vale la pena. Por más que hagas un solo problema, mandá lo que tengas, porque podés ganar algún premio.

¿Se pueden consultar apuntes, material en Internet, o usar software específico para pensar los problemas de geometría?
No, aplican las mismas restricciones que en una prueba presencial. La idea de esta competencia es que les sirva como entrenamiento para las demás pruebas. Como no podemos verificar esto, es responsabilidad de ustedes cumplirlo. Sí está permitido, y recomendamos fuertemente, incluir en las soluciones a los problemas de geometría figuras de análisis hechas utilizando algún software, como Geogebra.

No me inscribí, ¿puedo participar igual?
Sí, podés.

FOFO Aniversario 11 años.pdf

Considere un polígono regular de $n$ lados, $n \geq 4$, y sea $V$ un subconjunto de $r$ vértices del polígono. Demuestre que si $r(r-3) \geq n$, entonces existen al menos dos triángulos congruentes cuyos vértices pertenecen a $V$.

Para un conjunto finito $C$ de enteros, se define $S(C)$ como la suma de los elementos de $C$. Encuentre dos conjuntos no vacíos $A$ y $B$ cuya intersección es vacía, cuya unión es el conjunto $\{1,2,\ldots,2021\}$ y tales que el producto $S(A)S(B)$ es un cuadrado perfecto.

Sean $a,b,c,x,y,z$ números reales tales que $$a^2+x^2 = b^2+y^2 = c^2+z^2 = (a+b)^2+(x+y)^2 = (b+c)^2+(y+z)^2 = (c+a)^2+(z+x)^2.$$ Demuestre que $a^2+b^2+c^2 = x^2+y^2+z^2$.

Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una sucesión de enteros positivos y sea $b_1, b_2, b_3, \ldots$ la sucesión de números reales dada por $$b_n = \frac{a_1a_2 \cdots a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}, \text{ para $n \geq 1$}.$$ Demuestre que si entre cada millón de términos consecutivos de la sucesión $b_1,b_2,b_3,\ldots$ existe al menos uno que es entero, entonces existe algún $k$ tal que $b_k > 2021^{2021}$.

Considere un triángulo acutángulo $ABC$, con $AC > AB$, y sea $\Gamma$ su circuncírculo. Sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. El circuncírculo del triángulo $CEF$ y $\Gamma$ se cortan en $X$ y $C$, con $X \neq C$. La recta $BX$ y la tangente a $\Gamma$ por $A$ se cortan en $Y$. Sea $P$ el punto en el segmento $AB$ tal que $YP=YA$, con $P \neq A$, y sea $Q$ el punto donde se cortan $AB$ y la paralela a $BC$ que pasa por $Y$. Demuestre que $F$ es el punto medio de $PQ$.

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