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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Un conjunto finito $X$ está formado por $n$ números reales distintos. Se sabe que para cualesquiera dos elementos distintos $a$ y $b$ de $X$, existe un elemento $c$ de $X$ tal que los números $a,b,c$ forman una progresión aritmética en algún orden.
Determine el mayor valor posible de $n$.
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Problema del día de Geometría:
Sea $ABCD$ un cuadrado. Sean $E$ un punto de la prolongación de $BC$ ($C$ está entre $B$ y $E$) y $F$ un punto de la prolongación de $DC$ ($C$ está entre $D$ y $F$) tales que $\angle AEF = 90^\circ$, Si $BE = 24$ y $DF = 26$, determine el área del cuadrado $ABCD$.
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Problema del día de Ñandú:
Carlos escribe todos los números de $6$ cifras formados por $4$ unos y $2$ sietes. ¿Cuántos números escribió?
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Zonal 2022 - N3 P3


Alex y Bea, cada uno por su cuenta, marcaron las casillas de un tablero de $21$ filas y $37$ columnas con los números enteros desde $1$ hasta $777$, escribiendo un número en cada casilla, comenzando en la esquina superior izquierda.

Alex escribió en la primera fila los números $1,2,3,\ldots ,37$, en la segunda fila escribió $38,39,\ldots ,74$ y así siguiendo completó las $21$ filas.

Bea escribió en la primera columna los números $1,2,3,\ldots ,21$, en la segunda columna escribió $22,23,\ldots ,42$ y así siguiendo completó las $37$ columnas.

Hubo unas pocas casillas en las que las dos numeraciones coincidieron, por ejemplo en la primera fila de la primera columna ambas tienen $1$ y en la última fila de la última columna ambas tienen $777$.

Determinar la cantidad de casillas en las que coincidieron las dos numeraciones en indicar en cada caso cuál es el número escrito.

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Zonal 2022 - N3 P2


Hallar todos los pares de enteros positivos $x$ e $y$ tales que $\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=1$.

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Zonal 2022 - N3 P1


Sea $PQRS$ un paralelogramo de lados $PQ=RS=25$ y $RQ=PS=18$. Sea $T$ un punto en la semirrecta $RS$, con $S$ entre $T$ y $R$, tal que $TS=5$. La recta $TQ$ corta a $PS$ en $U$. Calcular la medida de $SU$.

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Zonal 2022 - N2 P3


Sea $ABCDE$ un pentágono regular de lados $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ y $EA$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $P$. Calcular la medida del ángulo $A\widehat PB$.

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Zonal 2022 - N2 P2


Distribuir en las casillas del tablero los números $35$, $40$, $44$, $46$ y $55$ de modo que el promedio de los números de las dos primeras casillas sea entero, el promedio de los números de las tres primeras casillas sea entero, el promedio de los números de las cuatro primeras casillas sea entero y el promedio de los números de las cinco casillas sea entero. Mostrar un tablero para cada posibilidad.\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline

\quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\

\hline

\end{array}

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