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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Sofía ubica los dados sobre una mesa como se muestra en la figura, juntando caras que tienen el mismo número en cada dado. Ella da vueltas alrededor de la mesa sin tocar los dados. ¿Cuál es la suma de los números de todas las caras que no puede ver?
Nota. En todo dado los números de las caras opuestas suman $7$.
Mayo2020P1N1.png

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Problema del día de Geometría:
Sea $P$ un punto en el interior de un círculo, distinto del centro. Se trazan tres rectas a través de $P$ formando ángulos de $60^\circ$, de manera que ninguna de ellas sea diámetro; éstas dividen al círculo en $6$ regiones. Si sombreamos $3$ de los $6$ sectores así determinados en forma alternada alrededor de $P$, tendremos dos regiones dentro del círculo: una sombreada y otra no sombreada. Probar que de estas dos regiones, la que tiene mayor área es la que contiene al centro del círculo.
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Problema del día de Ñandú:
El triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$.
$\hat{C}=4\hat{B}$, $\ \ \ \ CE=CF$, $\ \ \ \ BD=BE$.
¿Cuánto mide el ángulo $\hat{C}$?
¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores del cuadrilátero $ADEF$?
Zonal-2019-Ñandu-N3.png

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  • Últimos temas

Selectivo de IMO 2021 - Problema 4


Un patrón en cruz es una distribución de los nueve dígitos $1,2,\ldots ,9$ formando una $X$ como en el siguiente ejemplo:\begin{matrix}1 & & & & 2 \\
& 3 & & 4 & \\
& & 5 & & \\
& 6 & & 7 & \\
8 & & & & 9
\end{matrix}Diremos que un patrón en cruz es balanceado si las sumas de los cinco números de cada diagonal son iguales. Nuestro ejemplo es balanceado porque $1+3+5+7+9=2+4+5+6+8$.
Calcular cuántos patrones en cruz son balanceados.

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Selectivo de IMO 2021 - Problema 5


Consideramos la sucesión de números enteros $(x_n)$ tal que

$x_0=2$, $x_1=3$ y $x_{n+2}=7x_{n+1}-x_n+280$ para todo $n\geq 0$.

Demostrar que para todo entero positivo $n$ la suma de los divisores positivos del número $x_nx_{n+1}+x_{n+1}x_{n+2}+x_{n+2}x_{n+3}+626$ es divisible por $24$.

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Selectivo de IMO 2021 - Problema 6


Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f(xy+f(x))=xf(y)$$para todos $x,y\in \mathbb{R}$.

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Selectivo de IMO 2021 - Problema 3


Juli y Mica juegan al siguiente juego. Juli elige $100$ números reales no negativos, no necesariamente distintos $x_1,x_2,\dots ,x_{100}$ cuya suma sea $1$, y le dice los números a Mica. Mica agrupa los números en $50$ parejas a su elección, calcula la multiplicación de los dos números en cada pareja, y escribe en el pizarrón el mayor de estos $50$ resultados. Juli quiere que el número escrito sea lo mayor posible, mientras que Mica quiere que sea lo menor posible. ¿Qué número resultará escrito si los dos juegan de manera óptima?

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Selectivo de IMO 2021 - Problema 2


Sean $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$ dos circunferencias de radios distintos, con $\Gamma _1$ la de radio más chico. Las dos circunferencias se cortan en dos puntos distintos $A$, y $B$. Sea $C$ en $\Gamma _1$ y $D$ en $\Gamma _2$ tales que $A$ es el punto medio del segmento $CD$. Se sabe que la recta $CB$ corta a $\Gamma_2$ en $F$ de modo que $B$ está entre $C$ y $F$, y la recta $DB$ corta a $\Gamma _1$ en $E$ de modo que $B$ está entre $D$ y $E$. Las mediatrices de $CD$ y $EF$ se cortan en $P$.



a) Demostrar que $E\hat{P}F=2C\hat{A}E$.



b) Demostrar que $AP^2=CA^2+PE^2$.

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