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Resultados COFFEE: "Ariel Zylber"

Finalmente ha llegado el momento tan esperado de entregar los premios de esta edición de la COFFEE.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están siendo publicadas las soluciones oficiales de todos los problemas de la COFFEE, en sus respectivos posts. Si tenés ganas de compartir lo que hiciste, o tenés dudas/preguntas, te invitamos a que publiques en el th [

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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
En la recta real hay marcados una cantidad infinita de enteros positivos. Al hacer rodar una rueda sobre la recta, cada entero marcado deja un punto marcado sobre la rueda. Demostrar que se puede elegir $R$ tal que si una rueda de radio $R$ comienza desde $0$ y rueda a lo largo de la recta entonces todo arco que abarque $1º$ recibirá por lo menos un punto marcado, proveniente de alguno de los enteros marcados.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sea $ABCDEFGHIJ$ un polígono regular de $10$ lados que tiene todos sus vértices en una circunferencia de centro $O$ y radio $5$. Las diagonales $AD$ y $BE$ se cortan en $P$ y las diagonales $AH$ y $BI$ se cortan en $Q$. Calcular la medida del segmento $PQ$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En el restorán ofrecen un menú del día y un menú vegetariano.
Siete amigos se reúnen a almorzar.
Si cuatro eligieran el menú vegetariano, tres eligieran el menú del día y tres tomaran café, gastarían $\$330$.
Si tres eligieran el menú vegetariano, cuatro eligieran el menú del día y los siete tomaran café, gastarían $\$371$.
Si seis eligieran el menú vegetariano, uno eligiera el menú del día y los siete tomaran café, gastarían $\$392$.
¿Cuánto cuesta un menú vegetariano, cuánto un menú del día y cuánto un café?
Link al tema.


  • Últimos temas

Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 8)


Sea $n$ un entero positivo y $a$ un número real. Hallar todas las $n$-uplas $\left (x_1,\ldots ,x_n\right )$ de números reales que satisfacen el sitema de ecuaciones$$\sum \limits _{i=1}^{n} x_{i}^{k}=a^{k}$$para $k=1,\ldots ,n$.

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Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 7)


Sea $M$ el conjunto de los puntos de coordenadas enteras del plano.
Para cada punto $P=\left ( x,y \right )\in M$ llamamos vecinos de $P$ a los puntos $\left ( x-1,y \right ),\left ( x+1,y \right ),\left ( x,y-1 \right ),\left ( x,y+1 \right )$.
Sea $S [

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Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 6)


Un paralelogramo está inscrito en un hexágono regular de modo tal que los centros de simetría de ambas figuras coinciden.

Demostrar que el área del paralelogramo es menor o igual que $\frac{2}{3}$ del área del hexágono.

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Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 5)


Probar que para cualquier entero $n\geq 2$, la máxima potencia de $3$ que divide a $n!$ es la misma que la máxima potencia de $3$ que divide a$$(1)(1+4)\ldots \left (1+4+\ldots +4^{n-1}\right )$$

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OMEO 2018 N3 P3


Para cada entero positivo $n$, sea $f(n)=n+\lfloor \sqrt n \rfloor$. Demostrar que para todo entero positivo $m$, la sucesión $m, f(m), f(f(m)), f(f(f(m))), \cdots$ contiene un cuadrado perfecto.

Nota: Para cualquier número real $x$, $\lfloor x [

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