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Resultados FOFO 12 años

Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios.

En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para los primeros 6 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron al menos 31 puntos) se otorga una Medalla Especial, y para los siguientes 4 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 14 y 30 puntos), una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!

Spoiler: mostrar: \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{Martín Lupin} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{BrunZo} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{3} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{4} & \text{NicoRicci} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{5} & \text{...} &\textbf{Medalla Especial}\\ \hline
\text{6} & \text{FabriATK} & \textbf{Medalla Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Adriano Guinart} & \text{Mención Especial} \\ \hline
\text{8} & \text{Tob.Rod} & \text{Mención Especial} \\ \hline
\text{9} & \text{fran :)} & \text{Mención Especial} \\ \hline
\text{9} & \text{lola.m} & \text{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicidades a todos!

Para cada entero positivo $n$ consideramos el polinomio de coeficientes reales, de $2n+1$ términos,$$P(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+\cdots +a_1x+a_0$$donde todos los coeficientes son números reales que satisfacen $100\leq a_i\leq 101$ para $0\leq i\leq 2n$. Hallar el menor valor posible de $n$ tal que el polinomio puede tener al menos una raíz real.

Hallar todos los pares de números enteros positivos $x,y$ tales que$$x^3+y^3=4(x^2y+xy^2-5).$$

Consideramos un tablero cuadrado de $1000\times 1000$ con $1000000$ casillas de $1\times 1$. Una ficha colocada en una casilla amenaza a todas las casillas del tablero que están adentro de un cuadrado de $19\times 19$ con centro en la casilla donde está colocada la fichas, y de lados paralelos a los del tablero, excepto las casillas de su misma fila y las de su misma columna. Determinar el máximo número de fichas que se pueden colocar en el tablero de modo que no haya dos que se amenacen.

Dado un cuadrado $ABCD$ consideremos un triángulo equilátero $KLM$, cuyos vértices $K$, $L$ y $M$ pertenecen a los lados $AB$, $BC$ y $CD$ respectivamente. Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de los lados $KL$ para todos los posibles triángulos equiláteros $KLM$.

Nota. Se denomina lugar geométrico al conjunto de puntos que satisfacen una propiedad.

Determinar todos los números enteros positivos $n$ para los que se pueden escribir en algún orden los $n$ números enteros entre $1$ y $n$ inclusive, digamos $x_1,x_2,\ldots ,x_n$, con la propiedad de que el número $x_1+x_2+\ldots +x_k$ sea divisible por $k$, para todo $1\leq k\leq n$. Es decir, que

$1$ divide a $x_1$, $2$ divide a $x_1+x_2$, $3$ divide a $x_1+x_2+x_3$,
y así siguiendo hasta que $n$ divide a $x_1+x_2+\ldots +x_n$.

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