OMA Foros

Alex y Bea, cada uno por su cuenta, marcaron las casillas de un tablero de $21$ filas y $37$ columnas con los números enteros desde $1$ hasta $777$, escribiendo un número en cada casilla, comenzando en la esquina superior izquierda.

Alex escribió en la primera fila los números $1,2,3,\ldots ,37$, en la segunda fila escribió $38,39,\ldots ,74$ y así siguiendo completó las $21$ filas.

Bea escribió en la primera columna los números $1,2,3,\ldots ,21$, en la segunda columna escribió $22,23,\ldots ,42$ y así siguiendo completó las $37$ columnas.

Hubo unas pocas casillas en las que las dos numeraciones coincidieron, por ejemplo en la primera fila de la primera columna ambas tienen $1$ y en la última fila de la última columna ambas tienen $777$.

Determinar la cantidad de casillas en las que coincidieron las dos numeraciones en indicar en cada caso cuál es el número escrito.

Hallar todos los pares de enteros positivos $x$ e $y$ tales que $\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=1$.

Sea $PQRS$ un paralelogramo de lados $PQ=RS=25$ y $RQ=PS=18$. Sea $T$ un punto en la semirrecta $RS$, con $S$ entre $T$ y $R$, tal que $TS=5$. La recta $TQ$ corta a $PS$ en $U$. Calcular la medida de $SU$.

Sea $ABCDE$ un pentágono regular de lados $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ y $EA$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $P$. Calcular la medida del ángulo $A\widehat PB$.

Distribuir en las casillas del tablero los números $35$, $40$, $44$, $46$ y $55$ de modo que el promedio de los números de las dos primeras casillas sea entero, el promedio de los números de las tres primeras casillas sea entero, el promedio de los números de las cuatro primeras casillas sea entero y el promedio de los números de las cinco casillas sea entero. Mostrar un tablero para cada posibilidad.\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline

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\end{array}