OMA Foros

Sea $c$ una constante tal que, para toda permutación $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ de los enteros positivos, existen infinitos $i$ que cumplen $\text{mcd}(a_i, a_{i+1}) \leq ci$.

a) Determinar si $c$ puede tomar un valor menor a $\frac{3}{4}$.

b) Hallar el menor valor posible de $c$.

Dado un trío de enteros no negativos, en cada paso Mauro elige dos de sus elementos, $a$ y $b$, y cambia uno de ellos por $a+b$ o $|a-b|$.

Probar que existe una constante $r>0$ tal que, para cualesquiera enteros positivos $x,y,z,n$ con $x,y,z < 2^n$, Mauro puede transformar el trío $(x;y;z)$ en $(x';y';z')$ con $x'y'z'=0$ aplicando $rn$ operaciones válidas o menos.

Dado un triángulo $ABC$, sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AC$ y $AB$, respectivamente. Se marca el punto $D$ en $BC$ tal que $AD=DB$. $DM$ corta a $AB$ en $K$. Las circunferencias circunscritas de $KAM$ y $KND$ se intersecan nuevamente en $P$.

Demostrar que $\angle PAC= \angle ABC$.

Sean $a, b$ y $n$ enteros positivos tales que $a > b$ y $ab - 1 = n^2$. Probar que

$$a - b \geq \sqrt {4n - 3}$$

e indicar para qué valores se alcanza la igualdad

Sea $S$ un conjunto de enteros positivos menores o iguales a $15$. Supongamos que no hay dos subconjuntos de $S$ con misma suma. Hallar la máxima suma de $S$ posible.

Aclaración: la suma de un conjunto finito se define como la suma de todos sus elementos.

OMA Foros

"La CUARenTenA"- Problema 7

"La CUARenTenA"- Problema 6

"La CUARenTenA"- Problema 5

"La CUARenTenA"- Problema 4

"La CUARenTenA"- Problema 2