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  • Problema del día

Decimos que un polígono $P$ está inscrito en otro polígono $Q$ cuando todos los vértices de $P$ pertenecen al perímetro de $Q$. En este caso, también decimos que $Q$ está circunscrito a $P$. Dado un triángulo $T$, sean $l$ el máximo valor posible del lado de un cuadrado inscrito en $T$ y $L$ el valor mínimo del lado de un cuadrado encerrado en $T$.
Demuestre que, para cada triángulo triángulo $T$, la desigualdad $\frac{L}{l}\geq 2$ vale, y encuentre todos los triángulos $T$ para los cuales
la igualdad ocurre.
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Entrenamiento Rio 2019 - Problema 8


Determinar todos los números primos $p$ para los cuales existen enteros $m$ y $n$ tales que $p = m^2 + n^2$ y $p | m^3+n^3-4$.

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Entrenamiento Rio 2019 - Problema 7


Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. El punto $A_1$ pertenece al borde de $ABCD$ y es tal que el segmento $AA_1$ divide al cuadrilátero $ABCD$ en dos partes de igual área. Del mismo modo se definen los puntos $B_1$, $C_1$ y $D_1$. Se sabe que las long [

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Entrenamiento Rio 2019 - Problema 6


Hallar el mínimo número primo $p$ tal que $\left\lbrace \sqrt{p} \right\rbrace < \frac{1}{501}$, donde $\left\lbrace \right\rbrace$ indica la mantisa del número que encierra.

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Entrenamiento Rio 2019 - Problema 5


Sea $k > 2$ un número real.
$a)$ Demostrar que para todos $x$, $y$, $z$ números reales positivos se verifica la siguiente desigualdad.
$\sqrt{x+y} + \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x} > 2 \sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xy+yz+zx}}$
$b)$ Demos [

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Entrenamiento Rio 2019 - Problema 4


Hallar todas las funciones $f:[0,+ \infty) \to [0,1]$ tales que $f(x)f(y)=\frac{1}{2}f(yf(x))$ para todos $x\geq 0$, $y\geq 0$.

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