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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Betty completa las casillas de la figura, escribiendo un número entero positivo en cada casilla (puede haber números repetidos).
Quiere que el número en cada casilla sombreada oscura de la parte superior sea igual a la suma de los números en las dos casillas que tiene debajo y que el número en cada casilla sombreada clara de la parte inferior sea igual a la diferencia de los números en las dos casillas que tiene encima (la diferencia entre dos números es igual a la resta entre el mayor y el menor).
¿Qué número puede escribir en la casilla inferior de la figura? Dar todas las posibilidades.

Mateclubes 2019 - Nivel 3 - Problema 1 .png

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Problema del día de Geometría:
La mediatriz del lado $AC$ del triángulo $ABC$ corta a $BC, AB$ en los puntos $A_1$ y $C_1$, respectivamente. Los puntos $O,O_1$ son los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $A_1BC_1$ respectivamente. Probar que $C_1O_1\perp AO$.
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Problema del día de Ñandú:
Se escribe la lista de todos los números entre $101$ y $2021$ que cumplen estas dos condiciones:
  • la primera cifra es igual a la última cifra;
  • la suma de sus cifras es un número impar.
¿Cuántos números hay en esa lista? Explica cómo los contaste.
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  • Últimos temas

"La CUARenTenA"- Problema 7


Sea $c$ una constante tal que, para toda permutación $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ de los enteros positivos, existen infinitos $i$ que cumplen $\text{mcd}(a_i, a_{i+1}) \leq ci$.

a) Determinar si $c$ puede tomar un valor menor a $\frac{3}{4}$.

b) Hallar el menor valor posible de $c$.

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"La CUARenTenA"- Problema 6


Dado un trío de enteros no negativos, en cada paso Mauro elige dos de sus elementos, $a$ y $b$, y cambia uno de ellos por $a+b$ o $|a-b|$.

Probar que existe una constante $r>0$ tal que, para cualesquiera enteros positivos $x,y,z,n$ con $x,y,z < 2^n$, Mauro puede transformar el trío $(x;y;z)$ en $(x';y';z')$ con $x'y'z'=0$ aplicando $rn$ operaciones válidas o menos.

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"La CUARenTenA"- Problema 5


Dado un triángulo $ABC$, sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AC$ y $AB$, respectivamente. Se marca el punto $D$ en $BC$ tal que $AD=DB$. $DM$ corta a $AB$ en $K$. Las circunferencias circunscritas de $KAM$ y $KND$ se intersecan nuevamente en $P$.

Demostrar que $\angle PAC= \angle ABC$.

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"La CUARenTenA"- Problema 4


Sean $a, b$ y $n$ enteros positivos tales que $a > b$ y $ab - 1 = n^2$. Probar que

$$a - b \geq \sqrt {4n - 3}$$

e indicar para qué valores se alcanza la igualdad

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"La CUARenTenA"- Problema 2


Sea $S$ un conjunto de enteros positivos menores o iguales a $15$. Supongamos que no hay dos subconjuntos de $S$ con misma suma. Hallar la máxima suma de $S$ posible.

Aclaración: la suma de un conjunto finito se define como la suma de todos sus elementos.

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