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La cantidad de divisores de un número

Publicado: Lun 20 Dic, 2010 6:08 pm
por ésta
Sea [math] la cantidad de divisores de un entero positivo [math].

Vamos a dar una formula general para calcular [math] en base a la factorización en primos de [math].

Si [math].

Sea [math] un divisor de [math], entonces todo divisor primo de [math] también divide a [math].
Podemos escribir [math] de la forma [math], con [math], para todo entero [math] tal que [math].

Y además sea [math], con [math], para todo entero [math] tal que [math].
Entonces [math],
que es entero, porque [math].

Entonces todo número de la forma de [math] es divisor de [math] y todo divisor de [math] es de la forma de [math], por lo tanto [math] es la cantidad de números de la forma de [math].
Para cada [math] hay [math] posibilidades de elegirlo, entonces hay [math] números de la forma de [math] [math] [math].

Además claramente si [math] y [math] son enteros positivos tal que [math], entonces no tienen divisores primos es común entonces en [math], los primos están elevados a la misma potencia que en [math] o en [math], entonces [math].

Recapitulando tenemos que:
1) [math] si [math].
2) [math] si [math].

Re: La cantidad de divisores de un número

Publicado: Vie 25 Feb, 2011 1:25 pm
por Fredy10
Bueno, esto me hace acordar a una formula muy interesante que vale para toda función multiplicativa $\theta \left ( n \right )$.

En primer lugar una función es multiplicativa (en teoría de números) si $\theta \left ( n \right )\cdot \theta \left ( m \right )= \theta \left ( n\cdot m \right )$ para $n$ coprimo con $m$. Estas funciones pueden ser bastante interesantes, por ejemplo es facil de ver que $\theta \left ( 1 \right )= 1$ o $0$ si $\theta \left ( n \right )= 0$ para todo $n$.

Lo que queremos hallar es una formula para la suma de todos los $\theta \left ( d \right )$ donde $d$ es un divisor de $n$.
Sea $n=p_1^{\alpha _1}p_2^{\alpha _2}...p_j^{\alpha _j}$ la factorización en primos de $n$, notemos que $\theta \left ( p_a^{c}\cdot p_b^{d} \right )=\theta \left ( p_a^{c} \right )\cdot \theta \left ( p_b^{d} \right )$ por lo tanto vale que $\sum_{d|n}^{ }\theta \left ( d \right )=\prod_{i=1}^{j}\sum_{k=0}^{\alpha _i}\theta \left ( p_i^{\alpha _k }\right )$
Esto se ve muy feo así, pero basta escribirlo así para tornarlo un tanto mas comprensible:
$\sum_{d|n}^{ }\theta \left ( d \right )=\prod_{i=1}^{j}\left ( \theta \left ( 1 \right ) + \theta \left ( p_i\right )+\theta \left ( p_i^2\right )+...+\theta \left ( p_i^{\alpha _i} \right )\right )$.
Aquí es fácil ver que al expandir la expresión (teniendo en cuenta el carácter multiplicativo de la función) que la igualdad es correcta, ya que todo divisor de n tiene la forma: $n=p_1^{\beta _1}p_2^{\beta _2}...p_j^{\beta _j}$ donde $\alpha _n \geq \beta _n$.

En el ejemplo de ésta, $\theta \left ( n \right )= 1$ para todo $n$ y con la formula anterior obtenemos $\prod_{i=1}^{j}\left ( 1+\alpha _i \right )$.

Se pueden hallar otras formulas interesantes de esta, por ejemplo si tomamos $\theta \left ( n \right )= n$ (que claramente es multiplicativa), obtendremos una formula para la suma de los divisores de $n$. Usando la formula de la suma de progresión geometrica tendremos:
$\sum_{d|n}^{ }d= \prod_{i=1}^{j}\frac{{p_i^{\alpha _i+1}+1}}{p_i+1}$
O teniendo en cuenta que $\phi (n)$ es una funcion multiplicativa y teniendo en cuenta que $\phi (p^\alpha )=p^\alpha-p^{\alpha-1}$ es fácil demostrar la siguiente igualdad:
$\sum_{d|n}^{ }\phi \left ( n \right )=n$