La cantidad de divisores de un número
Publicado: Lun 20 Dic, 2010 6:08 pm
Sea [math] la cantidad de divisores de un entero positivo [math].
Vamos a dar una formula general para calcular [math] en base a la factorización en primos de [math].
Si [math].
Sea [math] un divisor de [math], entonces todo divisor primo de [math] también divide a [math].
Podemos escribir [math] de la forma [math], con [math], para todo entero [math] tal que [math].
Y además sea [math], con [math], para todo entero [math] tal que [math].
Entonces [math],
que es entero, porque [math].
Entonces todo número de la forma de [math] es divisor de [math] y todo divisor de [math] es de la forma de [math], por lo tanto [math] es la cantidad de números de la forma de [math].
Para cada [math] hay [math] posibilidades de elegirlo, entonces hay [math] números de la forma de [math] [math] [math].
Además claramente si [math] y [math] son enteros positivos tal que [math], entonces no tienen divisores primos es común entonces en [math], los primos están elevados a la misma potencia que en [math] o en [math], entonces [math].
Recapitulando tenemos que:
1) [math] si [math].
2) [math] si [math].
Vamos a dar una formula general para calcular [math] en base a la factorización en primos de [math].
Si [math].
Sea [math] un divisor de [math], entonces todo divisor primo de [math] también divide a [math].
Podemos escribir [math] de la forma [math], con [math], para todo entero [math] tal que [math].
Y además sea [math], con [math], para todo entero [math] tal que [math].
Entonces [math],
que es entero, porque [math].
Entonces todo número de la forma de [math] es divisor de [math] y todo divisor de [math] es de la forma de [math], por lo tanto [math] es la cantidad de números de la forma de [math].
Para cada [math] hay [math] posibilidades de elegirlo, entonces hay [math] números de la forma de [math] [math] [math].
Además claramente si [math] y [math] son enteros positivos tal que [math], entonces no tienen divisores primos es común entonces en [math], los primos están elevados a la misma potencia que en [math] o en [math], entonces [math].
Recapitulando tenemos que:
1) [math] si [math].
2) [math] si [math].