OMA Foros

por **Caro - V3** » Mié 23 Feb, 2011 6:36 pm

Hallar todas las ternas de primos positivos distintos $p, q, r$ tales que

$\dfrac{q+r}{p}$ ; $\dfrac{r+2p}{q}$ ; $\dfrac{p+3q}{r}$

sean números enteros.

por **Ivan** » Dom 24 Abr, 2011 11:13 pm

Supongamos que $a=\frac{q+r}{p}$ , $b=\frac{r+2p}{q}$ y $c=\frac{p+3q}{r}$ . Podemos escribir esto como:
$q+r=ap$
$r+2p=bq$
$p+3q=cr$

Si $a>3$ , $b>4$ y $c>2$ sumando las tres ecuaciones tenemos
$3p+4q+2r=ap+bq+cr>3p+4q+2r$ , absurdo.

Luego $a\leq3$ o $b\leq4$ o $c\leq2$ . Además notemos que $a$ , $b$ y $c$ son positivos.

Dividimos en casos:

a=1
$q+r=p$
$q\mid r+2p=r+2(q+r)=2q+3r$
$q\mid 3r$
Como los primos son distintos
$q=3$
$r\mid p+3q=4q+r$
$r\mid 4q$
$r=2$
Sigue que $p=q+r=5$
$(5,3,2)$ es solución.

a=2
$q+r=2p$
$q\mid r+2p=q+2r$
$q\mid 2r$
$q=2$
$r\mid 2(p+3q)=2p+6q=7q+r$
$r\mid 7q$
$r=7$
Pero $2p=q+r=9$ es un absurdo.

a=3
$q+r=3p$
$q\mid 3(r+2p)=3r+6p=2q+5r$
$q\mid 5r$
$q=5$
$r\mid 3(p+3q)=3p+9q=10q+r$
$r\mid 10q$
Como los primos son distintos $r=2$
$3p=q+r=7$ , absurdo.

b=1
$r+2p=q$
$p\mid q+r=2p+2r$
$p\mid 2r$
$p=2$
$r\mid p+3q=7p+3r$
$r\mid 7p$
$r=7$
$q=r+2p=11$
$(2,11,7)$ es solución.

b=2
$r+2p=2q$
$p\mid 2(q+r)=2q+2r=2p+3r$
$p\mid 3r$
$p=3$
$r\mid 2(p+3q)=2p+6q=8p+3r$
$r\mid 8p$
$r=2$
$2q=8$ , absurdo.

b=3
$r+2p=3q$
$p\mid 3(q+r)=3q+3r=2p+4r$
$p\mid 4r$
$p=2$
$r\mid p+3q=3p+r$
$r\mid 3p$
$r=3$
$3q=r+2p=7$ , absurdo.

b=4
$r+2p=4q$
$p\mid 4(q+r)=4q+4r=2p+5r$
$p\mid 5r$
$p=5$
$r\mid 4(p+3q)=4p+12q=10p+3r$
$r\mid 10p$
Como los primos son distintos $r=2$
$4q=r+2p=12$
$q=3$
$(5,3,2)$ es solución.

c=1
$p+3q=r$
$p\mid q+r=p+4q$
$p\mid 4q$
$p=2$
$q\mid r+2p=3p+3q$
$q\mid 3p$
$q=3$
$r=p+3q=11$
$(2,3,11)$ es solución.

c=2
$p+3q=2r$
$p\mid 2(q+r)=2q+2r=p+5q$
$p\mid 5q$
$p=5$
$q\mid 2(r+2p)=2r+4p=5p+3q$
$q\mid 5p$
$q=5$ absurdo.

Ya vimos todos los casos posibles. Luego las únicas soluciones son $(5,3,2)$ , $(2,11,7)$ y $(2,3,11)$ .

OMA Foros

Selectivo 18° Cono Sur 2007 - Problema 3

Selectivo 18° Cono Sur 2007 - Problema 3

Re: Selectivo 18° Cono Sur 2007 - Problema 3

¿Quién está conectado?