51° IMO (2010) - Problema 2

[Caro - V3]

Sea un triángulo, su incentro y su circunferencia circunscrita. La recta corta de nuevo a en . Sean un punto en el arco y un punto en el lado tales que

Sea el punto medio del segmento . Demuestre que las rectas y se cortan sobre .

[ésta]

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Sea el punto donde se intersectan y distinto de .
Sea el punto de intersección de y .
Basta demostrar que y el problema estará completo.

Siguiendo con las definiciones:
Sean y las intersecciones de con y respectivamente.

Tenemos que:
.
Por arco capaz además:
.
Y nos queda que:

Por lo tanto, el cuadrilátero es cíclico.

Sea (Sí, otro punto más), el pie de la bisectriz de en .

Por cíclicos:


Y

Sigue que y esto quiere decir que .

Ahora, como vimos antes

Entonces los triángulos y comparten y , entonces son semejantes.
Por semejanza


Y es un lema conocido que es el circuncentro de (se demuestra fácil con angulitos), entonces y reemplazando nos queda que

Sumando esta relación a que los triángulos y comparten , nos queda que estos son semejantes y


Pero cómo es cíclico:

Pero esto quiere decir que y sigue que .

Por lo tanto, es un paralelogramo y sus diagonales se cortan en su punto medio, pero las diagonales se cortan en , entonces es el punto medio de como queríamos demostrar.

El dibujo lo debo.

[Vladislao]

Este problema es perfecto para usar una propiedad buenísima del incentro, los excentros, y la intersección de una bisectriz con el circuncírculo de un triángulo (no están las demostraciones, pero son sencillas y para quien le interese, queda como ejercicio).

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Trazamos la paralela a que pasa por . Sea la intersección de esta recta con . Es claro que (por Thales), por lo tanto, es excentro del triángulo .

Sea la intersección de y .

Como y , los triángulos y son semejantes, y por lo tanto:



De esto se sigue: .

Además, es conocido que: por ser incentro y excentro. Luego, de las últimas dos igualdades, se desprende que , y por ende:



Y, es trivial que , y de la última igualdad y este hecho se desprende que: , luego, , pero , y finalmente , de donde se sigue el problema.