Nacional OMA 2011 - Nivel 1 - Problema 6

[Matías V5]

Entre todas las fracciones , con y enteros positivos y menor o igual que , hallar la más cercana a .

[Nacho]

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Queremos encontrar la fracción más cercana, o sea, tal que la diferencia entre los dos números sea lo más chica posible. Es clarísimo además que . La diferencia entre las dos fracciones es . Como , es claro que . Entonces, queremos minimizar .

Vamos a encontrar el mayor en tal que es solución de la ecuación diofántica . Miremos módulo : . Notemos que . El inverso de módulo es . Queremos hallar el inverso de módulo . Entonces, hacemos . Miramos módulo , que nos da . Y ahora miramos , que nos da , de donde . Como , las soluciones de la diofántica son de la forma y con . Entonces , de donde . La diofántica tiene soluciones y con . Además, queremos el mayor que sea menor o igual que , de donde y .

Ahora veamos que es lo menor posible. Supongamos que existen y tal que . Definamos tal que es mayor que . Entonces . Pero , de donde y . Absurdo.

Entonces, la fracción más cercana a es . (De hecho, cuando hacemos la cuentita, y , que están muy cerquita =P).

[Mariano Juncal]

Como dijo el señor de aca arriba, queremos minimizar la diferencia entre y que es

Para eso, separemos en dos casos: o

Si , quiere decir que lo de adentro es o , veamos ambos casos:



restamos de cada lado



Ahora, como y son coprimos, se tiene que divide a , y ademas por lo tanto , y como tiene que ser multiplo de , las unicas dos posibilidades son o

De la primera, , que no puede ser al ser b entero, de la segunda, , es la unica solucion

entonces y , con lo cual la diferencia que era nos da

Ahora, si , nos queda , sumando de cada lado nos queda con lo cual

Del mismo modo que antes, y tiene que ser multiplo de porque y son coprimos, entonces , o

Vemos que el unico caso que nos da entero es , entonces , con lo cual nos da que es mas grande que

Recordemos que es la diferencia entre y , asi que queremos que esa diferencia sea lo mas chica posible, por ahora lo mejor que conseguimos es , viendo el caso , que nos daba o

En los demas casos tenemos ya que es entero y no es , con lo cual

Ahora, lo mas chico que puede ser eso es tomando , ya que agrandando el denominador, achicamos el numero (y ), por lo tanto

O sea, si el numerador de la diferencia () es mas grande o igual a , las diferencias nos quedan mas grandes o igual es a

Pero es mas chico que todos esos numeros porque tiene denominador mas grande, entonces esa es la menor diferencia que podemos encontrar entre y , se sigue entonces que y

[Mariano Juncal]

Cabe aclarar que la diferencia no puede ser , es decir, no puede ser igual a , ya que como es irreducible, si hay otra fraccion que es igual a ella tiene a un multiplo de arriba, y a un multiplo de abajo (), y entonces lo de abajo que es nos queda mas grande que , y no puede ser.